Monty-Hall

Парадокс Монти Холла

В математической теории вероятности широко распространено такое явление как парадокс. Несмотря на то, что математика – точная наука, и поставленной задаче должен соответствовать определенный логический ответ, в теории вероятности встречаются такие задачи и вопросы, решение которых порой кажется немыслимым. Одним из таких парадоксов является парадокс Монти-Холла.

Вопрос звучит так:

Вы участвуете в игре. Перед вами 3 двери. За одной из них находится миллион долларов, за двумя другими пусто. Вы не знаете, за какой из дверей находятся деньги, но хотите их выиграть. Ведущий игры, в свою очередь, знает, за какой из дверей пусто, а за какой находятся деньги. Вам предлагают выбрать одну дверь. После этого ведущий открывает пустую дверь из двух оставшихся и после этого предлагает вам поменять выбор. Вопрос: увеличатся ли шансы на выигрыш, если поменять дверь?

Дополнения к задаче: задачу следует рассматривать максимально объективно. У ведущего нет абсолютно никакого желания вас запутывать. Он просто-напросто предлагает поменять дверь, а вы соглашаетесь или отказываетесь.

В чем парадокс? Первая мысль и достаточно очевидная, которая приходит на ум 90% людей – нет, шансы не увеличатся. И правда, почему должны шансы увеличится от того, что ведущий открыл пустую дверь? Шансы на выигрыш денег при начальном выборе равны 1/3=33.3333%, а шансы на выигрыш денег при одной открытой двери по логике должны равняться ровно 50%. Но на самом деле все гораздо сложнее, мозг вас обманывает.

Ответ: шансы выиграть при смене двери становятся равными 66.666%, то есть выше в 2 раза (33.333%), чем, если не менять выбор.

Почему так? Дело в том, что два события (ваш первый выбор двери и открытие ведущим пустой двери) взаимосвязаны. Давайте рассматривать события как одно целое.

Представьте, что у вас 999 возможностей сыграть в эту игру. Игра начинается, вы должны выбрать дверь. Тогда с вероятностью 33.333% вы выберете дверь с деньгами, с вероятностью 66.666% — пустую дверь. То есть, из 999 игр вы 333 раза выберете деньги, а 666 раз попадетесь на пустую дверь.

Теперь давайте просто-напросто представим, что будет, если мы всегда будем менять свой выбор (после открытия ведущим двери). Давайте теперь представим, когда же мы в конечном итоге проиграем? Мы проиграем ТОЛЬКО в том случае, когда изначально выберем дверь с деньгами! (мы выбираем дверь с деньгами –> ведущий открывает пустую дверь -> мы меняем выбор, «отказавшись» от денег).

А теперь вернемся к тому моменту, когда мы говорили, что из 999 игр деньги мы изначально выберем всего 333 раза. Тогда получается, что, если помнить правило «проигрыша» (проигрываем только тогда, когда изначально выбираем дверь с деньгами), проиграем мы всего 333 раза! (т.к. деньги выбираем 333 раза), следовательно, НЕ проиграем, выиграв деньги 999-333=666 раз. Вот такое и получается, что, поменяв дверь, вероятность выиграть возрастет до 66.666%.

Есть и другие варианты объяснений данного парадокса. При написании программы на компьютере для вычисления вероятности выигрыша после смены двери, получается такой же результат – 66.666%.

В теории вероятности существуют и другие, не менее интересные парадоксы. Велика теория вероятности!